Das unendliche Hotel, Reise in ein Paradoxon

Lassen Sie uns dieses Jahr für die Feiertage verrückt werden, lassen Sie uns ein unendliches Hotel eröffnen. Ja, Sie haben richtig gelesen, ein hypothetisches Hotel mit unzähligen endlosen Zimmern. Eine unendliche Menge wird als zählbar bezeichnet, wenn ihre Elemente ohne Auslassung oder Wiederholung in einer durch Ganzzahlen indizierten Sequenz aufgelistet werden können. Von da an können wir die Räume nummerieren: Raum 1, Raum 2 bis unendlich. Jedes Zimmer bietet Platz für einen einzelnen Reisenden.

Was wäre der Vorteil dieses innovativen Hotels?

Illustration des unendlichen Hotels von Julie De Saedeleer.
Autor zur Verfügung gestellt

Stellen Sie sich vor, dass jedes Zimmer in unserem unendlichen Hotel bereits belegt ist, das Hotel ist voll! Ein neuer Reisender kommt an die Rezeption und möchte ein Zimmer. Schlechte Nachrichten ? Nein ! Die Eigenschaften der Unendlichkeit werden es uns ermöglichen, eine dafür zu finden. Aber wie geht es weiter? Der Telefonist hat eine Idee. Er klopft an Schlafzimmer 1 und bittet seinen Bewohner, in Schlafzimmer 2 zu ziehen, dann bittet er den Bewohner von Schlafzimmer 2, in 3 zu ziehen und so weiter. Jeder Gast zieht von Raum N nach Raum N + 1 und da es unendlich viele Räume gibt, gibt es für jeden Gast einen neuen Raum. Nach diesem langen Prozess teilt der unermüdliche Telefonist dem Reisenden mit, dass der erste Raum jetzt für die Nacht frei ist. Alles, was bleibt, ist, für alle saubere Laken anzuziehen und eine gute Nacht zu verbringen.

Dieses bemerkenswerte Hotel bietet auch Platz für Reisende eines ganzen Busses, wenn das Hotel bereits voll ist. Angenommen, ein Bus mit 20 neuen Reisenden kommt an. Der brillante Telefonist verwendet dieselbe Idee und fordert diesmal den Insassen von Raum 1 auf, sich in Raum 21 zu bewegen, den Insassen von Raum 2, sich in Raum 22 zu bewegen und so weiter. Jeder Kunde zieht von Raum N nach Raum N + 20 und das Problem ist gelöst: Die 20 Fahrgäste im Bus lassen sich jeweils in einem der ersten 20 Räume nieder, die jetzt leer sind. Dieser Prozess funktioniert unabhängig von der begrenzten Anzahl von Reisenden, die auftauchen. Fantastisch, aber Sie werden sehr wahrscheinlich gebeten, sich während der Nacht mehrmals zu bewegen.

Stellen Sie sich nun vor, es handelt sich um einen unendlichen Bus, der mit einer unendlichen Anzahl von Reisenden (Reisender 1, Reisender 2 …) gefüllt ist, die in unserem Hotel ankommen, das voll ist. Unser treuer Telefonist, der zunächst ratlos war, fand schnell heraus, wie er diese endlose Anzahl neuer Reisender aufnehmen konnte!

Und du ?

Dies erfordert die Freigabe einer unendlichen Anzahl von Räumen, beispielsweise aller ungeradzahligen Räume. Unser Telefonist bittet daher den Kunden von Raum 1, in Raum 2 zu ziehen, den Kunden von Raum 2 in 4, den Gast von Raum 3 in 6 und so weiter. Diesmal zieht der Client aus Raum N in Raum 2N um. Gerade Zimmer sind jetzt alle belegt, so dass alle ungeraden Zimmer frei sind, um neue Reisende aufzunehmen. Alle sind glücklich, außer vielleicht dem Hotelpersonal, das nie aufhört, die Bettwäsche zu wechseln.

Unser unendliches Hotel hat sich einen guten Ruf erworben, da immer Platz ist, egal wie viele Leute auftauchen.

Es ist möglich, die Erfahrung noch weiter zu vertiefen, indem Sie sich vorstellen, dass eine endlose Anzahl von Bussen mit jeweils einer endlosen Anzahl von Reisenden in unserem Hotel ankommt, das immer voll ist. Der Telefonist kann sich wieder auf die Mathematik verlassen, um ihm zu helfen, indem er die Unendlichkeit der Primzahlen nutzt. Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben: 1 und sich selbst. Zum Beispiel: 2, 3, 5 … Die zählbare Unendlichkeit von Primzahlen wurde von Euklid bei 4 demonstrierte Jahrhundert vor Jesus Christus. Es basiert auf diesem Ergebnis, eine unendliche Anzahl von Räumen freizugeben, die die unendliche Anzahl von Kunden aufnehmen können, die aus einer unendlichen Anzahl von unendlichen Bussen stammen.

Hotelgäste ziehen in Zimmer um, deren Zahlen die Exponenten von 2 sind (erste Primzahl). Zum Beispiel geht der Gast in Raum 5 in Raum 25 (= 32). Der Kunde aus Raum N zieht daher in Raum 2 umNICHT. Dann gehen wir weiter zum ersten unendlichen Bus, dessen Kunden zu den von den Ausstellern mit 3 nummerierten Räumen (zweite Primzahl) geschickt werden. Der Passagier auf Platz 5 des ersten Busses schläft in Raum 35 (= 243). Und so weiter für die Unendlichkeit der Kunden der Unendlichkeit der Busse; Client N von 2e Bus wird in Zimmer 5 schlafenNICHT, Kunde N von 3e Der Bus wird in Zimmer 7 schlafenNICHT. Da wir Primzahl-Exponenten verwenden, gibt es keine Wiederholung der Zimmernummern und jeder Gast kann ruhig schlafen. Beachten Sie, dass es immer noch unendlich viele leere Räume gibt, die keine Hauptexponenten sind, zum Beispiel 6e Schlafzimmer.

Trotz der kolossalen logistischen Arbeit, die dieses Hotel erfordert, sind diese Erfahrungen nur möglich, weil wir mit der Unendlichkeit arbeiten, insbesondere mit der kleineren Version, die wir als „zählbare Unendlichkeit“ bezeichnen, ein Konzept, das wir durchgehend verwendet haben Zählen der Zimmer, der Busse, der Kunden … Wenn andererseits ein fertiges Hotel, so groß es auch ist, voll ist, ist es unmöglich, den geringsten Reisenden hinzuzufügen.

David Hilbert, der deutsche Mathematiker hinter diesem Gedankenexperiment.
Wikipedia, CC BY

Unser Infinite Hotel, oft als Hotel de Hilbert bezeichnet, ist ein theoretisches Experiment des Mathematikers David Hilbert (1862-1943), das das gleichnamige Paradoxon veranschaulicht, das die kontraintuitiven Eigenschaften unendlicher Mengen beschreibt.

Dieses Gedankenexperiment veranschaulicht in erster Linie die Probleme, die wir im Umgang mit der Unendlichkeit haben, und zwingt uns, unsere Gewohnheiten des Zählens in endlichen Mengen aufzugeben.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.